TEORI BILANGAN
1.1.
BILANGAN REAL
Pada materi kali ini, kita akan mempelajari konsep dasar bilangan
real dimulai dari operasi dasar pada bilangan real dan diakhiri dengan Problem
Set mengenai bilangan real.
1.1.1.
Operasi dasar bilangan
real
Definisi:
Jika n1 dan n2 adalah bilangan real,
maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai n1 + n2 yang merupakan jumlah
dari n1
dan n2.
Juga ada suatu bilangan real n1 × n2 (atau ditulis sebagai n1. n2 atau n1n2) yang merupakan hasil
kali dari n1 dan n2.
1.1.2. Sifat-sifat operasi himpunan bilangan
real
Beberapa sifat operasi pada bilangan real antara lain adalah:
1.
Sifat tertutup
Himpunan bilangan real R dikatakan tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan real
merupakan bilangan real pula. Dalam notasi matematika biasa ditulis sebagai
berikut:
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n1,
n2 Î R, berlaku (n1 +
n2) Î R
b.
Perkalian
Untuk setiap n1,
n2 Î R, berlaku (n1n2) Î R
2.
Sifat Komutatif
a.
Penjumlahan
Untuk
setiap n1, n2 Î R, berlaku n1 +
n2 = n2
+ n1
b.
Perkalian
Untuk setiap n1, n2 Î R, berlaku n1n2 = n2n1
3.
Sifat Asosiatif
a.
Penjumlahan
b.
Perkalian
Untuk
setiap n1, n2, n3 Î R,
berlaku (n1n2)n3 = n1(n2n3)
4.
Sifat Identitas
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n
Î R, berlaku n + 0 = 0 + n = n
dimana 0 sebagai identitas penjumlahan
b.
Perkalian
Untuk setiap n
Î R, berlaku n × 1 = 1 × n = n
dimana 1 sebagai identitas pekalian
5.
Sifat Kebalikan (invers)
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n
Î R akan terdapat –n Î R sedemikian sehingga
berlaku sifat n + (–n) = (–n) + n = 0. –n disebut invers atau kebalikan dari n terhadap operasi penjumlahan
b.
Perkalian
Untuk setiap n
¹ 0 Î R akan terdapat 1/n Î R sedemikian sehingga berlaku sifat n × 1/n = 1/n × n = 1. 1/n disebut invers atau kebalikan dari n terhadap operasi perkalian
6.
Sifat Distributif
a.
Distributif kiri
Untuk
setiap n1, n2, n3 Î R,
berlaku (n1 + n2) n3 = n1n3 + n2n3
b.
Distributif kanan
Untuk
setiap n1, n2, n3 Î R,
berlaku n1 (n2 + n3) = n1n2 + n1n3
1.1.3.
Skema himpunan bilangan
real
Secara umum himpunan bilangan real terbagi menjadi dua himpunan
besar yaitu himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional. Namun
sebelum diberikan definisi bilangan rasional dan irrasional akan diuraikan
definisi bilangan yang lainnya.
Definisi bilangan bulat
positif (asli):
Bilangan asli atau bilangan alam adalah
bilangan-bilangan yang disimbolkan dengan angka 1, 2, 3, ….
Kumpulan semua bilangan asli disebut
himpunan bilangan asli , yaitu N = {1, 2, 3, 4, …}. Sedangkan gabungan antara
bilangan nol dan himpunan bilangan asli disebut himpunan bilangan cacah, yaitu
C = N È {0} = {0, 1,
2, 3, …}.
Definisi bilangan bulat negatif:
Sebuah bilangan x disebut bilangan bulat negatif bila bilangan x merupakan kebalikan (invers) dari suatu bilangan bulat positif.
Jika a merupakan suatu bilangan bulat
positif maka x disimbolkan dengan x = –a.
Kumpulan semua bilangan bulat negatif
disebut himpunan bilangan bulat negatif, yaitu {–1, –2, –3, … }.
Definisi faktor pembagi:
Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat, serta berlaku ab=c maka a dan b disebut faktor
pembagi dari c, sedangkan c disebut kelipatan dari a dan b.
Definisi bilangan genap dan ganjil:
Sebuah bilangan bulat positif a disebut bilangan genap bila salah satu faktor dari a adalah 2. Bilangan yang bukan genap
disebut bilangan ganjil.
Kumpulan semua bilangan genap disebut
himpunan bilangan genap. Sedangkan kumpulan semua bilangan ganjil disebut
himpunan bilangan ganjil.
Definisi bilangan komposit:
Sebuah bilangan bulat positif k ¹ 1disebut
bilangan komposit bila bilangan k
tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua atau lebih bilangan bulat
positif ¹ 1.
Kumpulan semua bilangan komposit disebut
himpunan bilangan komposit.
Definisi bilangan prima:
Sebuah bilangan bulat positif p ¹ 1 disebut
bilangan prima bila bilangan p
tersebut merupakan perkalian antara 1 dan p,
atau bilangan p hanya mempunyai 2
faktor yaitu 1 dan p sendiri.
Kumpulan semua bilangan prima disebut
himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, …}
Definisi bilangan rasional:
Sebuah bilangan r disebut bilangan rasional jika bilangan r tersebut dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua buah
bilangan bulat. Dalam notasi matematika sebagai
berikut:
Kumpulan semua bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional
yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan
pecahan. Sebuah bilangan rasional dapat mudah kita kenal dari bilangan desimalnya
dimana pada bilangan desimalnya terdapat pengulangan bilangan yang secara
teratur.
Contoh 1.1
Beberapa bilangan rasional yang dapat dilihat dari pola bilangan
desimalnya adalah:
·
·
·
·
Definisi bilangan
irrasional:
Sebuah bilangan c disebut
bilangan irrasional jika bilangan c
tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dari dua buah bilangan bulat.
Sebuah bilangan irrasional dapat mudah kita kenal dari bilangan desimalnya
dimana pada bilangan desimalnya tidak terdapat pengulangan bilangan yang secara
teratur.
Contoh 1.2
Beberapa contoh bilangan yang merupakan bilangan
irrasional:
Kumpulan semua bilangan irrasional disebut
himpunan bilangan irrasional.
Problem Set
1.
Manakah
di antara bilangan decimal berikut yang bukan merupakan bilangan rasional? Jelaskan !
a.
0,959599595…
b.
0,696969…
c.
–5,344344433…
d.
–2,889889889…
e.
7,79977997799…
2. Tentukan bilangan pecahan dari
bilangan-bilangan rasional di bawah ini:
a.
0,799999…
b.
0,659659659…
c.
1,333333…
d.
–2,898989…
e.
5,799979997999…
3.
Manakah
dari pernyataan-pernyataan berikut yang benar? Jelaskan!
a.
Hasil penjumlahan antara dua
bilangan rasional adalah bilangan rasional
b.
Hasil penjumlahan antara dua
bilangan irrasional adalah bilangan irrasional
c.
Hasil perkalian antara dua
bilangan rasional adalah bilangan rasional
d.
Hasil perkalian antara dua
bilangan irrasional adalah bilangan irrasional
1.2.
BILANGAN ASLI
Materi ini akan membahas materi tentang bilangan
asli. Bilangan asli sendiri mempunyai sifat-sifat yang hampir sama dengan
bilangan real, namun ada beberapa sifat dari bilangan real yang tidak dimiliki
oleh bilangan asli.
1.2.1.
Operasi dasar bilangan
asli
Sama seperti bilangan real, pada bilangan asli terdapat dua buah operasi
dasar yaitu operasi penjumlahan dan perkalian.
Definisi:
Jika n1 dan n2 adalah bilangan real,
maka ada suatu bilangan real yang ditulis sebagai n1 + n2 yang merupakan jumlah
dari n1
dan n2.
Juga ada suatu bilangan real n1 × n2 (atau ditulis sebagai n1. n2 atau n1n2) yang merupakan hasil
kali dari n1 dan n2.
1.2.2.
Sifat-sifat
operasi himpunan bilangan asli
Beberapa sifat operasi pada bilangan asli antara
lain adalah:
1.
Sifat tertutup
Himpunan bilangan asli N dikatakan tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, karena jumlah dan hasil kali dari 2 bilangan asli
merupakan bilangan asli pula. Dalam notasi matematika biasa ditulis sebagai berikut:
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n1,
n2 Î N, berlaku (n1 +
n2) Î N
b.
Perkalian
Untuk setiap n1,
n2 Î N, berlaku (n1n2) Î N
2.
Sifat Komutatif
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n1, n2
Î N, berlaku n1 +
n2 = n2
+ n1
b.
Perkalian
Untuk setiap n1, n2
Î N, berlaku n1n2 = n2n1
3.
Sifat Asosiatif
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n1,
n2, n3 Î N,
berlaku (n1 + n2) + n3 = n1 +
(n2 + n3)
b.
Perkalian
Untuk setiap n1,
n2, n3 Î N,
berlaku (n1n2)n3 = n1(n2n3)
4.
Sifat Identitas
a.
Penjumlahan
Untuk setiap n
Î N, berlaku n + 0 = 0 + n = n
(0 sebagai bukan identitas
penjumlahan, 0 Ï N)
b.
Perkalian
Untuk setiap n
Î N, berlaku n × 1 = 1 × n = n
(1 sebagai identitas pekalian, 1 Î N)
5.
Sifat Distributif
a.
Distributif kiri
Untuk setiap n1,
n2, n3 Î N,
berlaku (n1 + n2)n3= n1n3 + n2n3
b.
Distributif kanan
Untuk setiap n1,
n2, n3 Î N,
berlaku n1 (n2 + n3) = n1n2 + n1n3
1.2.3.
Bilangan genap
Sebuah bilangan bulat positif a disebut bilangan genap bila salah satu faktor dari a adalah 2. Kumpulan
semua bilangan genap disebut himpunan bilangan genap.
1.2.4.
Bilangan ganjil
Bilangan yang bukan genap disebut bilangan
ganjil. Kumpulan semua bilangan ganjil disebut himpunan bilangan ganjil.
1.2.5.
Bilangan komposit
Sebuah bilangan bulat positif k
¹ 1 disebut bilangan komposit bila bilangan k tersebut dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua atau lebih
bilangan bulat positif ¹ 1. Kumpulan semua bilangan komposit disebut himpunan bilangan
komposit.
1.2.6.
Bilangan prima
Sebuah bilangan bulat positif p
¹ 1 disebut bilangan prima bila bilangan p tersebut merupakan perkalian antara 1 dan p, atau bilangan p hanya
mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan p
sendiri. Kumpulan semua bilangan prima disebut himpunan bilangan prima, yaitu
{2, 3, 5, 7, …}
Definisi faktor prima:
Setiap bilangan komposit k
dapat dinyatakan sebagai perkalian unik antar beberapa bilangan prima . Secara
notasi matematika sebagai berikut:
dimana p1, p2, ..., pn merupakan bilangan-bilangan prima berbeda dan e1, e2, …,
en merupakan
bilangan-bilangan cacah. p1,
p2, ..., pn disebut sebagai faktor
prima dari k.
Di dalam himpunan bilangan asli, kita bisa melihat sifat-sifat
penting lainnya yang berhubungan dengan faktor dan kelipatan persekutuan dari
bilangan-bilangan asli. Di antaranya adalah FPB dan KPK.
a.
Faktor persekutuan
terbesar (FPB)
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua atau lebih bilangan asli
adalah bilangan asli terbesar yang merupakan anggota himpunan semua faktor
persekutuan dari bilangan-bilangan itu atau bilangan asli terbesar yang habis
membagi bilangan-bilangan tersebut.
Contoh 1.3
Tentukan FPB dari 8 dan 36.
Penyelesaian :
Himpunan faktor dari 8 = {1, 2, 4, 8}
Himpunan faktor dari 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,
18, 36}
Jadi himpunan faktor dari 8 dan 36 adalah: {1, 2,
4}, sehingga FPB dari 8 dan 36 adalah 4.
·
Menentukan FPB
Untuk menentukan FPB dari dua atau lebih bilangan asli dapat
dilakukan dengan berbagai macam metode, yaitu:
·
Mendaftarkan semua faktor dari
bilangan-bilangan tersebut
Metode ini merupakan metode
yang sangat sederhana, yaitu dengan mendaftarkan semua faktor dari setiap
bilangan tersebut ke dalam sebuah himpunan, setelah itu menentukan irisan himpunan-himpunan tersebut
dan dicari elemen terbesar dari irisan
himpunan tersebut. Contoh 1.3 menggunakan metode ini.
·
Metode faktor prima
Metode ini merupakan metode
yang sangat umum digunakan, yaitu dengan menguraikan setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar faktor primanya. Kemudian untuk menentukan
FPB dengan cara:
o
Tentukan
semua faktor prima yang sama antar bilangan tersebut
o
Tentukan
bilangan terkecil dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di atas yang
berada pada bilangan-bilangan tersebut
o
FPB
dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan terkecil
yang sudah diperoleh di atas
Namun metode ini dapat
dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari FPB nya merupakan
bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:
Misalkan a, b bilangan asli yang mempunyai
faktorisasi prima:
a = dan b
=
dimana pangkat adalah bilangan
bulat tidak negatif, dan semua prima yang muncul di faktorisasi a atau b muncul di faktorisasi kedua-duanya, bisa dengan pangkat nol.
Maka FPB(a,b) adalah
FPB (a, b) =
dimana min(x, y)
menyatakan nilai terkecil antara x
dan y.
Contoh 1.4
Tentukan FPB dari 48 dan 72
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa:
48 = 24
´ 3
72 = 23 ´ 32
Faktor-faktor prima yang sama
dari 48 dan 72 adalah 2 dan 3. Sedangkan pemangkatan terkecil yang diambil adalah 23 dan 3. Sehingga FPB(48, 72) = 23 ´ 3 = 24.
·
Algoritma Euclid
Secara sederhana metode yang dilakukan algoritma Euclid adalah mencari
faktor persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan yang telah direduksi terus
menerus. Cara mereduksi bilangan ini adalah dengan melihat sisa pembagian
antara satu bilangan dengan bilangan yang lain. Sisa tak nol terakhir adalah
nilai FPB yang dimaksud.
Misalkan ingin dicari FPB(91, 287).
Langkah pertama, bagi bilangan yang lebih besar
dengan bilangan yang lebih kecil,
diperoleh
287 = 91.3 + 14 atau 287
– 91.3 = 14
Artinya pembagi dari 91 dan 287 adalah juga pembagi dari
14 atau
FPB(91, 287) = FPB(14, 91),
sehingga selanjutnya adalah mencari FPB(14, 91).
Bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, diperoleh
91 = 14.6 + 7 atau 91
– 14.6 = 7
Artinya FPB(91, 287) = FPB(14, 91) = FPB(7, 14).
Bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, diperoleh
14 = 7.2 + 0
Artinya FPB(7, 14) = 7.
Sehingga FPB(91, 287) = FPB(14, 91) = FPB(7, 14) = 7.
Lemma Misalkan a = bq + r, dengan a, b,
q dan r adalah bilangan bulat. Maka FPB(a, b)
= FPB(b, r).
Contoh 1.5
Tentukan FPB dari 8 dan 36, 48
dan 72.
Penyelesaian :
FPB (8, 36) = FPB (8, 8´4+4)
= FPB(8, 4)
= 4
FPB(48, 72) = FPB(48, 48+24)
= FPB(48, 24)
=
24
b.
Kelipatan persekutuan
terkecil (KPK)
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua atau lebih bilangan asli
adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan semua kelipatan
persekutuan antara bilangan-bilangan tersebut atau bilangan asli terkecil yang
habis dibagi oleh bilangan-bilangan tersebut.
Contoh 1.6
Tentukan KPK dari 2 dan 3
Penyelesaian :
Himpunan kelipatan dari 2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
Himpunan kelipatan dari 3 = {3, 6, 12, 15, …}
Jadi himpunan kelipatan dari 2 dan 3 adalah: {6, 12, …}, sehingga
KPK dari 2 dan 3 adalah 6.
·
Menentukan KPK
Untuk menentukan KPK dari dua atau lebih bilangan asli dapat
dilakukan dengan berbagai macam metode, yaitu:
·
Mendaftarkan semua kelipatan dari
bilangan-bilangan tersebut
Metode ini merupakan metode
yang sangat sederhana, yaitu dengan mendaftarkan semua kelipatan dari setiap
bilangan tersebut ke dalam sebuah himpunan, setelah itu menentukan irisan himpunan-himpunan tersebut
dan dicari elemen terkecil dari irisan
himpunan tersebut. Contoh 1.6 menggunakan metode ini.
·
Metode faktor prima
Metode ini merupakan metode
yang sangat umum digunakan, yaitu dengan menguraikan setiap bilangan tersebut sebagai perkalian antar faktor primanya. Kemudian untuk menentukan
KPK dengan cara:
o
Tentukan
semua faktor prima yang sama antar bilangan tersebut
o
Tentukan
bilangan terbesar dari pemangkatan setiap faktor prima yang sama di atas yang
berada pada bilangan-bilangan tersebut
o
FPB
dari bilangan-bilangan tersebut adalah perkalian antar semua bilangan terbesar
yang sudah diperoleh di atas dan semua pemangkatan faktor prima yang berbeda
yang ada di setiap bilangan tersebut.
Namun metode ini hanya dapat
dilakukan jika bilangan-bilangan asli yang ingin dicari KPK nya merupakan
bilangan komposit. Secara matematis sebagai berikut:
Seperti FPB, KPK antara dua
bilangan bulat juga dapat dicari dengan
faktorisasi prima dari masing-masing bilangan, dengan KPK(a,
b) adalah
KPK (a, b)
=
dimana maks(x, y)
menyatakan nilai terbesar antara x
dan y.
Contoh 1.7
Tentukan KPK dari 48 dan 72,
12 dan 15
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa:
48 = 24
´ 3
72 = 23 ´ 32
Faktor-faktor prima yang sama
dari 48 dan 72 adalah 2 dan 3. Sedangkan pemangkatan terbesar yang diambil adalah 24 dan 32.
Sehingga KPK(48, 72) = 24 ´ 32 = 144.
Perhatikan bahwa:
12 = 22
´ 3
15 = 3 ´ 5
Faktor-faktor prima yang sama
dari 12 dan 15 adalah 3. Sedangkan pemangkatan terbesar yang diambil adalah 3. Semua pemangkatan faktor prima yang
berbeda dari dua bilangan tersebut adalah 22 dan 5. Sehingga KPK(12, 15)
= 3 ´ 22 ´ 5 = 60.
c.
Sifat-sifat FPB dan KPK
Beberapa sifat FPB dan KPK yang penting adalah:
Misalkan a, b, c, d,
n adalah bilangan-bilangan asli,
maka:
o
FPB(ca, cb) = c ´ FPB(a, b)
o
FPB(a, bc) = FPB (a, c
´ FPB(a, b))
o
FPB(an, bn)
= (FPB(a, b))n
o
Jika FPB(a, b) = d, maka FPB(a/d, b/d) = 1
o
FPB(a, b) ´ KPK(a, b) = ab
Problem Set
1.
rJika m dan n adalah dua bilangan asli dan mn = n + 15, maka carilah semua bilangan
n yang mungkin.
2.
Bila diketahui bahwa hasil dari
perkalian dari dua bilangan asli adalah 84, tentukanlah hasil penjumlahan dua
bilangan asli tersebut yang mungkin terjadi.
3. Tentukan semua bilangan asli x dan y, jika x2 + y2 = 63
4.
Jika
200 × 201 × 202 × … × 210 dapat ditulis dalam bentuk 2n.m, dimana m
merupakan bilangan ganjil. Berapakah nilai dari n ?
5.
Jika
sembarang bilangan asli yang terdiri dari dua digit kalian pilih. Berapakah
hasil yang kalian temukan jika bilangan tersebut dikurangi dengan jumlah dari
kedua digitnya dan kemudian hasilnya dibagi dengan 9 ? Jelaskan
jawaban kalian !
6.
Apakah benar setiap selisih
kuadrat bilangan ganjil positif dengan bilangan satu merupakan kelipatan 4?
Jelaskan !
7.
Apabila suatu bilangan terdiri
dari 3 digit dikalikan dengan 4, maka hasil kalinya terdiri dari 3 digit dan
mempunyai digit-digit yang sama namun digit pertama dan digit ketiga saling
bertukar. Carilah bilangan tersebut.
8.
Apabila suatu bilangan terdiri
dari 4 digit dikalikan dengan 9, maka hasil kalinya terdiri dari 4 digit dan
mempunyai digit-digit yang sama namun digit pertama dan digit keempat saling
bertukar. Carilah kemugkinan bilangan terbesarnya.
9.
Jika 2006 dapat dinyatakan
salam penjumlahan dari beberapa bilangan asli berurutan, maka berapa banyak
cara penjumlahan tersebut.
10.
Jika x, y dan z adalah
bilangan-bilangan asli yang memenuhi persamaan
x + 3y
+ 7z = 50
Tentukan semua tripel (x,
y, z) yang memenuhi persamaan tersebut.
11.
Suatu bilangan asli terdiri
dari 3 digit ‘abc’ yang mempunyai
sifat-sifat sebagai berikut:
a.
digit ratusan = digit puluhan + digit satuan
b. b(c + 1) = 52 – 4a
Tentukan semua bilangan
yang memenuhi sifat-sifat tersebut.
12.
Suatu bilangan asli terdiri
dari 4 digit yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
a.
digit ribuan = digit puluhan
b. digit ratusan = satu lebihnya dari digit satuan
Tentukan semua bilangan yang memenuhi sifat-sifat tersebut.
13.
Tentukan semua bilangan bulat n sehingga juga bulat
14.
Buktikan bahwa semua bilangan
yang terdiri dari 6 digit ‘abcabc’
selalu habis dibagi 91
15.
Sebuah bilangan terdiri dari 3
digit yang habis dibagi 12 dan hasil baginya merupakan jumlah-jumlah dari
digit-digit bilangan tersebut. Tentukanlah bilangan yang yang dimaksud
tersebut.
1.3.
KETERBAGIAN
Definisi
Jika a
dan b bilangan bulat dan a ¹ 0, dikatakan a membagi b jika ada
bilangan bulat s sehingga b = as. Jika a membagi b maka disebut a faktor dari b dan b adalah kelipatan
dari a. Notasi a|b jika a membagi b dan ab jika a
tidak membagi b.
Teorema
Jika a, b, dan c bilangan bulat, maka
1. Jika a|b
dan a|c maka a|(b + c)
2. Jika a|b
maka a|bx untuk sebarang bilangan
bulat x
3. Jika a|b
dan b|c maka a|c
Sifat-sifat pembagian oleh 2n
Suatu bilangan bulat habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.
- n = 1, suatu bilangan habis dibagi 2 jika
angka terakhir bilangan tersebut habis dibagi 2.
- n = 2, suatu bilangan habis dibagi 4 (22)
jika bilangan 2 angka terakhir bilangan tersebut habis dibagi 4.
- i = 3,
suatu bilangan habis dibagi 8 (23) jika bilangan 3 angka
terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8.
Teorema
Misalkan a = anan-1
... a3a2a1a0
sembarang bilangan bulat.
1.
3|a jika dan hanya jika 3|(
an + an-1 + ... + a3 + a2
+ a1 + a0)
2. 5|a jika dan hanya jika a0=0 atau a0=5
3. 7|a jika dan hanya jika 7| anan-1... a3a2a1 – 2a0 atau 7| anan-1... a3a2a1 +5a0
4. 9|a jika dan hanya jika 9|( an + an-1
+ ... + a3 + a2 + a1 + a0)
5. 11|a
jika dan hanya jika 11|( an – an-1 + an-2
– an-3 + …)
6. 13|a jika dan hanya jika 13| anan-1... a3a2a1 – 9a0 atau 13| anan-1... a3a2a1 +4a0
7. 17|a jika dan hanya jika 17| anan-1... a3a2a1 – 5a0 atau 17| anan-1... a3a2a1 +12a0
8. 19|a jika dan hanya jika 19| anan-1... a3a2a1 – 17a0 atau 19| anan-1... a3a2a1 +2a0
Teorema Algoritma pembagian.
Misalkan a
bilangan bulat dan d bilangan bulat
positif. Terdapat bilangan bulat q
dan r yang unik, dengan 0 £ r < d
sehingga a = dq + r
Definisi
Dalam persamaan yang diberikan pada algoritma
pembagian, d disebut pembagi (divisor), a disebut yang dibagi (divident),
q disebut hasil bagi (quotient), dan r disebut sisa (remainder)
Contoh 1.8
Berapakah hasil bagi dan sisa jika 101 dibagi 11?
Penyelesaian
Karena 101 = 11´9 + 2, maka hasil baginya adalah 9 dan
sisanya adalah 2
Contoh 1.9
Berapakah hasil bagi dan sisa jika –11 dibagi 3?
Penyelesaian
Karena –11 = 3 ´ –4 + 1, maka hasil baginya adalah –4 dan sisanya adalah 1
Problem Set
1.
Hitung 123123 : 1001
2. Tunjukkan bahwa 7 membagi
22225555 + 55552222
3. Tentukan angka terakhir
dari
4.
Misalkan N adalah hasil kali dari tiga bilangan bulat positif yang nilainya
sama dengan 6 kali penjumlahan ketiga bilangan tersebut. Satu dari bilangan
tersebut adalah penjumlahan dari dua bilangan yang lainnya. Tentukan jumlah
dari semua nilai yang mungkin untuk N
5.
n adalah sebuah bilangan yang terdiri
dari 4 digit bilangan bulat dengan urutan menurun dari kiri ke kanan. Carilah
jumlah semua nilai sisa yang mungkin jika n
dibagi 3
6.
Pilih
satu bilangan sembarang yang lebih besar dari 1. Bilangan berikutnya diperoleh
dari pembagian antara bilangan yang lebih besar 1 dari bilangan yang dipilih
dengan bilangan yang lebih kecil 1 dari bilangan yang dipilih. Kemudian lakukan hal yang sama sekali
lagi. Apakah yang terjadi? Jelaskan
1.4.
PERSAMAAN
DIOPHANTINE
Suatu peramaan berbentuk ax + by = c dengan a, b, dan c bilangan bulat dan a, b tidak nol disebut persamaan
diopanthine, jika penyelesaiannya dicari pada himpunan bilangan bulat.
Teorema
Persamaan diopanthine ax + by = c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika FPB(a, b)
membagi c.
Contoh 1.10
Uji
apakah persamaan 24x + 78y = 34 mempunyai penyelesaian di
himpunan bilangan bulat.
Penyelesaian
Pertama-tama kita cari FPB dari 24
dan 78 dengan algoritma euclid sebagai berikut:
78
= 3´24 + 6
24 = 4´6 + 0
Sehingga FPB(24,78)=6, karena 6
adalah sisa pembagian terakhir yang tak nol. Karena 6 34, maka persamaan 24x + 78y = 34 tidak
mempunyai penyelesaian di himpunan bilangan bulat.
Teorema
Jika d = FPB(a, b) dan x0, y0
adalah penyelesaian dari persamaan diopanthine ax + by = c, maka penyelesaian umum dari persamaan tersebut adalah
dan
dengan k
parameter bilangan bulat.
Contoh 1.11
Cari penyelesaian dari persamaan 56x + 72y = 40.
Penyelesaian
Pertama-tama kita cari FPB dari 56 dan 72 dengan
algoritma euclid sebagai betikut:
72
= 1´56 + 16
56 = 3´16 + 8
16 = 2´8 + 0
Sehingga FPB(56,72)=8, karena 8 adalah sisa
pembagian terakhir yang tak nol. Karena 8|40, maka persamaan 56x + 72y = 40 mempunyai
penyelesaian di himpunan bilangan bulat. Selanjutnya kita mencari nilai x0 dan y0. Perhatikan bahwa :
40
= 5´8 = 5´(56 – 3´16)
= 5´56 – 15´16
= 5´56 – 15´(72 – 1´56)
= 20´56 – 15´72
Sehingga nilai x0=20
dan y0= –15. Akhirnya
solusi umum dari persamaan diophantine 56x
+ 72y = 40 adalah :
x = 20 + 9k dan y = –15 – 7k
dengan k
parameter bilangan bulat.
Problem Set
Ujilah apakah persamaan berikut mempunyai
penyelesaian di bilangan bulat. Jika mempunyai penyelesaian, carilah
penyelesaian tersebut.
a. 14x
+ 35y = 93
b. 24x
+ 138y = 18
c. 754x
+ 221y = 13
1.5.
ARITMATIKA MODULAR
Jika waktu sekarang adalah jam 7, jam berapakah 50 jam dari
sekarang? Untuk mengetahui jam tersebut, kita harus mencari sisa pembagian 50
dengan 24 dan menambahkannya ke jam 7. Ada banyak kasus-kasus
seperti ini dimana yang diperlukan hanyalah sisa pembagian sementara hasil
baginya tidak penting.
Definisi
Misalkan a
bilangan bulat dan m bilangan bulat
positif. Digunakan a mod
m untuk menyatakan sisa hasil
pembagian a oleh m.
Contoh 1.12
Berapakah 17 mod
5 dan 133 mod 9 ?
Penyelesaian
Perhatikan bahwa 17 = 3´5 + 2, sehingga 17 mod 5 = 2, sedangkan
133 = 14´9 + 7, sehingga 133 mod 9 = 7
Definisi
Jika a
dan b bilangan bulat dan m bilangan bulat positif, maka a adalah kongruen dengan b
modulo m jika m | (a – b). Digunakan
notasi a º b (mod m)
untuk menyatakan a kongruen dengan b modulo m. Jika a dan b tidak kongruen modulo m, ditulis ab (mod m).
Contoh 1.13
Periksa apakah apakah 17 kogruen ke 5 modulo 6.
Penyelesaian
Perhatikan bahwa, karena 6 | (17 – 5)=12, maka 17 º 5 (mod 6)
Teorema
Misalkan m
bilangan bulat positif. Bilangan bulat a
dan b adalah kongruen modulo m jika dan hanya jika ada bilangan bulat
k sehingga a = b +
km.
Teorema
Misalkan m
bilangan bulat positif. Jika a º b (mod m)
dan c º d (mod m),
maka a + c º b + d (mod m)
dan ac º bd (mod m)
Contoh 1.14
Tentukan angka satuan pada bilangan 32005.
Penyelesaian
Untuk mencari angka satuan kita gunakan sisa hasil
pembagian dengan 10. Karena 32º –1 (mod 10) , maka:
32005 º (32)1002 ´ 3 (mod 10)
º (-1)1002 ´ 3 (mod 10)
º 1 ´ 3 (mod 10)
º 3
(mod 10)
Sehingga angka satuan dari 32005 adalah
3.
Teorema
Misalkan m
bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat. Jika ac
º bc (mod m)
dan gcd(c, m) = 1, maka a º b (mod m).
1.6.
CHINESE
REMAINDER THEOREM
Bila x
dibagi 3 bersisa 2, x dibagi 5
bersisa 3, dan x dibagi 7 bersisa 2,
berapakah x?
Masalah di atas dapat diterjemahkan menjadi masalah berikut:
Berapakah x
sehingga
x º 2 (mod 3)
x º 3 (mod 5)
x º 2 (mod 7).
Masalah seperti ini dapat diselesaikan dengan the chinese remainder theorem.
Teorema The Chinese remainder theorem.
Misalkan m1,
m2, …, mn bilangan bulat yang saling
relatif prima. Sistem
x º a1
(mod m1)
x º a2
(mod m2)
x º an (mod mn)
memiliki satu solusi tunggal modulo m = m1
m2 … mn. Dengan kata
lain, terdapat satu dan hanya satu x
dengan 0 £ x < m
yang memenuhi sistem tersebut.
Contoh 1.15
Tentukan x
yang memenuhi sistem
x º 2 (mod 3)
x º 3 (mod 5)
x º 2 (mod 7)
Penyelesaian
Perhatikan bahwa sistem di atas ekivalen dengan
sistem berikut:
35x º 70 (mod 105)
21x º 63 (mod 105)
15x º 30 (mod 105)
Karena x
º 36x – 35x º (21x
+15x) – 35x º (63+30) – 70 º 23 mod 105, maka x = 23 + 105k, dimana k adalah parameter bilangan bulat.
Problem Set
Cari penyelesaian dari sistem persamaan
berikut:
a.
x º 1 (mod
2), x º 2 (mod 3)
b.
x º 5 (mod
15), 4x º 7 (mod 11)
c. x º 1 (mod 2), x
º 3 (mod 3), x º 1 (mod 5)
d. x º 1 (mod 2), x
º 2 (mod 3), x º 4 (mod 5)
Tidak ada komentar:
Posting Komentar